三趣看

第6章（第2页）

这个“超超级公理”是正确的，因为包括“超级公理”在内的所有其他公理都是正确的。因此，哥德尔的新命题还是正确的，因为他可以利用“超超级公理”来证明它。但你不可以证明这一点，因为“超超级公理”不在你所承认的公理列表里。

回顾一下，从皮亚诺公理开始。哥德尔提供了一个你无法证明的正确的命题。但他利用“超级公理”证明了。你说：“好，我把‘超级公理’加进自己的公理列表，现在我可以证明你的命题了。”哥德尔说：“好。那么我再给你一个新的你无法证明的命题，即便你使用新的、扩展了的公理列表，也无法证明。”然后他再使用“超超级公理”来证明这个新命题。

你的下一步棋当然是把“超超级公理”添加到你的公理列表里。哥德尔的下一步棋当然是提出一个新的你用“超超级公理”也无法证明的命题。他知道这个命题是正确的，因为他已经使用新的“超超超级公理”证明了。然后我们就这么一直继续下去了（而且哥德尔确实已经证明了自己可以永远继续下去）。

并不存在一个完备的公理列表来证明数学领域的所有正确命题，这便是“哥德尔不完备性定理”的大部分内容。这就告诉你，正确的事物和可以被证明的事物之间是有区别的。

总之，在数学领域存在着正确的命题。“正确”并不意味着“可以被证明”，而仅仅意味着通常意义上的正确。但是这些命题必须跟自然数体系有关才能是真实的。此外，这些命题在人们发现它们之前的漫长岁月就已经是正确的了，而且无论人们是否发现它们，这些命题都是正确的。因此，自然数在人们发现它们之前也是存在的，而且无论人们是否发现它们，自然数都是真实存在的。这种看法对本书第一章的论点来说是极为重要的。

如果你足够聪明，你或许会尝试将所有有关数学法则的正确命题都设置成公理。那样的话每个命题就都只需要一步即可证明。你如何证明两个偶数的和还是偶数呢？回答：这是一个公理。你如何证明最大的质数不存在呢？回答：这还是一个公理。但这种逃避的办法是不可取的。问题在于，按照这种制度，我们就没办法知道什么是公理而什么不是公理。偶数是两个质数之和，这是不是公理呢？回答：这是一个公理，当且仅当这是正确的时候我们才知道这是不是公理，但我们没办法知道这到底是不是正确的，因此我们没办法了解它是不是公理。游戏规则是这样设置的：你可以使用任何自己想提供的公理，只要判定了什么是公理、什么不是公理的明确规则确实存在。按照这个标准，所有正确的命题的列表便可等同于公理。

漫长的胜利（1）

漫长的胜利：你知道谷歌名字的来源吗？

海格力斯用棒子敲击九头蛇的头，但这毫无益处，因为每当一个头被打掉时，断处就会有两个新头生长出来。

阿波罗多罗斯

海格力斯需要花多长时间才能杀死九头蛇？

在前文中，我答应过给你描述一个数学领域中正确但无法被证明的命题。你或许认为这个任务会相当困难，甚至会像“海格力斯面临的问题”那样“困难无比”。

或许你听说过这个古希腊神话，海格力斯在狂暴状态中误杀了他的妻子和孩子。为了“赎罪”，他同意去完成死敌欧里斯修斯分配的一系列任务。

第一项任务是杀死可怕的“涅墨亚雄狮”，海格力斯赤手空拳完成了任务。第二项任务是处理掉那多头的怪物九头蛇。古希腊神话还告诉我们，每次海格力斯打掉九头蛇的一个头时，断处就会有两个新头长出来。

事实上，古人们讲述有误。实际情况应该比那还要糟糕。

首先，九头蛇可能会有很多类型。每种九头蛇的头的连接、排列方式都不同，我们可以先给出一个典型的图例：

正如你看到的那样，这条九头蛇已经长出来了9个头（每个带圈字母代表着一个头）。海格力斯可以先打掉位于最顶端的4个头中的一个C、D、F或者H。

在被打掉一个头之后，九头蛇的反应方式就是将这个掉下来的头的“父结点”带上其衍生结点（不包括敲掉的这个头）复制一遍。如果海格力斯打掉了C，九头蛇会复制一遍B（C的父节点）和B衍生出的所有节点（也就是D、E、F）。就像这样：